Trong đại số trừu tượng, tâm của một nhóm là tập hợp các phần tử giao hoán với mọi phần tử của . Nó được ký hiệu là , từ tiếng Đức Zentrum, có nghĩa là trung tâm. Ta có

: }.

Tâm là một nhóm con chuẩn tắc, .

Tính chất

Tâm của G luôn là một nhóm con của . Tức là:

chứa phần tử đơn vị của , bởi vì phần tử đơn vị giao hoán với mọi phần tử , theo định nghĩa: , trong đó là đơn vị;

Nếu và thuộc , thì cũng vậy, do tính kết hợp: với mọi ; tức là đóng dưới phép toán nhóm;

Nếu thuộc thì cũng thế .

Lớp liên hợp và nhóm tâm hóa

Tính liên hợp

Xét ánh xạ sau, , từ tới nhóm tự đẳng cấu của định nghĩa bởi , và là tự đẳng cấu của định nghĩa bởi: :.

Hàm là một đồng cấu nhóm, và nhân của nó là tâm của , còn ảnh của nó được gọi là nhóm tự đẳng cấu trong của , ký hiệu là . Theo định lý đẳng cấu đầu tiên ta có, :.

Cokernel (Đối nhân) của ánh xạ này là nhóm chứa các tự đẳng cấu ngoài, và chúng tạo thành chuỗi chính :.

Ví dụ

• Tâm của nhóm Abel, , là toàn bộ nhóm .
• Tâm của nhóm Heisenberg , là tập các ma trận dưới dạng:
• Tâm của nhóm đơn phi abel là nhóm tầm thường (nhóm bao gồm duy nhất một phần tử là phần tử đơn vị).
• Tâm của nhóm nhị diện, , tầm thường với mọi số nguyên lẻ . Đối với các số nguyên chẵn , Tâm bao gồm phần tử đơn vị cùng với phép quay 180° của hình.
• Tâm của nhóm Quarternion, , là tập .
• Tâm của nhóm đối xứng (lý thuyết nhóm), , tầm thường với .
• Tâm của nhóm thay phiên, , tầm thường với .