✨Nhóm Prüfer

Trong toán học, và cụ thể là trong lý thuyết nhóm, một p-nhóm Prüfer là bất kỳ nhóm nào đẳng cấu với nhóm nhân

: $\backslash mathbf\{C\}\_\{p^\{\backslash infty\; =\; \{\backslash exp(2\backslash pi\; i\; n/p^m)\; \backslash mid\; n\backslash in\; \backslash mathbf\{Z\},\; m\backslash in\; \backslash mathbf\{N\}\}$

tạo bởi các căn thức phức của đơn vị có bậc là một lũy thừa của p (với p là một số nguyên tố).

Do đó, nó là một p-nhóm giao hoán đếm được.

Định nghĩa tương đương

Đặt G là một p-nhóm Prüfer. Ta có:

a) G đẳng cấu với nhóm thương $\backslash mathbf\{Z\}[1/p]/\; \backslash mathbf\{Z\},$ với $\backslash mathbf\{Z\}[1/p]$ là nhóm con của (Q,+) được tạo bởi các phân số có dạng $n/p^\{m\}$, với $n\; \backslash in\; \backslash mathbf\{Z\},\; m\; \backslash in\; \backslash mathbf\{N\}$.

: Chứng minh. Đồng cấu $\backslash mathbf\{Z\}[1/p]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbf\{C\}\_\{p^\{\backslash infty:\; q\; \backslash mapsto\; \backslash exp(2\backslash pi\; iq)$ là một toàn ánh. Hạch của nó là $\backslash mathbf\{Z\}$.

b) G có biểu thị nhóm

: $\backslash langle\; x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots\; |\; x\_1^\{p\}\; =\; 1,\; x\_2^\{p\}\; =\; x\_1,\; x\_3^\{p\}\; =\; x\_2,\; \backslash dots\backslash rangle.$ :

c) G có một hệ sinh $\backslash \; (a${n}){n \in \mathbf{Z sao cho$\backslash \; a${0} \not= 1, $\backslash \; a${0}^{p} = 1 và $\backslash \; a${n+1}^{p} = a{n} với mọi $n\; \backslash geq\; 0$ .

d) G là hợp của một chuỗi tăng dần vô hạn $C${0} \leq C{1} \leq \ldots \leq C_{n} \leq \ldots trong đó, với mọi n, C_n là một nhóm cyclic cấp pⁿ .

Ghi chú và tài liệu tham khảo