✨Định lý Routh

right|thumb|upright=1.5|Định lý Routh

Trong hình học phẳng, Định lý Routh nói về tỉ lệ diện tích tam giác tạo bởi ba đường thẳng cevian và tam giác ban đầu. Định lý này phát biểu rẳng nếu tam giác $ABC$ các điểm $D$, $E$, và $F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC$, $CA$, và $AB$, đặt $\backslash tfrac\{CD\}\{BD\}$$=\; x$, $\backslash tfrac\{AE\}\{CE\}$$=\; y$, và $\backslash tfrac\{BF\}\{AF\}$$=\; z$, khi đó tỉ số diện tích của tam giác tạo bởi ba đường thẳng cevian $AD$, $BE$, và $CF$ bằng diện tích của tam giác $ABC$ nhân với hệ số:

: $\backslash frac\{(xyz\; -\; 1)^2\}\{(xy\; +\; y\; +\; 1)(yz\; +\; z\; +\; 1)(zx\; +\; x\; +\; 1)\}.$

Định lý được đưa ra bởi Edward John Routh tại trang 82 trong tài liệu Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples năm 1896. Khi $x\; =\; y\; =\; z\; =\; 2$ trở thành trường hợp đặc biệt Khu vực một phần bảy diện tích tam giác. Trường hợp $x.y.z\; =\; 1$ định lý này suy biến thành định lý Ceva.

Chứng minh

right|thumb|upright=1.5|Chứng minh định lý Routh

Giả sử diện tích tam giác $ABC$ là 1. Cho tam giác $ABD$ và đường thẳng $FRC$ sử dụng định lý Menelaus, chúng ta có: :$\backslash frac\{AF\}\{FB\}\; \backslash times\; \backslash frac\{BC\}\{CD\}\; \backslash times\; \backslash frac\{DR\}\{RA\}\; =\; 1$ Do đó $\backslash frac\{DR\}\{RA\}\; =\; \backslash frac\{BF\}\{FA\}\; \backslash times\; \backslash frac\{DC\}\{CB\}\; =\; \backslash frac\{zx\}\{x+1\}$ Như vậy diện tích của tam giác $ARC$ là: :$S${ARC} = \frac{AR}{AD} S{ADC} = \frac{AR}{AD} \times \frac{DC}{BC} S{ABC} = \frac{x}{zx+x+1} Tương tự như vậy chúng ta có diện tích tam giác: $S${BPA} = \frac{y}{xy+y+1} và $S${CQB} = \frac{z}{yz+z+1} Do đó diện tích tam giác $PQR$ là: :$\backslash displaystyle\; S${PQR} = S{ABC} - S{ARC} - S{BPA} - S{CQB} :$=\; 1\; -\; \backslash frac\{x\}\{zx+x+1\}\; -\; \backslash frac\{y\}\{xy+y+1\}\; -\; \backslash frac\{z\}\{yz+z+1\}$ : $=\backslash frac\{(xyz\; -\; 1)^2\}\{(xz\; +\; x\; +\; 1)(yx\; +\; y\; +\; 1)(zy\; +\; z\; +\; 1)\}.$